Math by P‘Win

ปริศนาแผนที่ 4 สี : กำเนิดการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วยสมองกล

สมมติว่าคุณเดินทางไปยังโลกมนุษย์ในเอกภพคู่ขนานที่ทวีปต่างๆไม่ได้มีหน้าตาอย่างโลกของเรา แน่นอนว่าประเทศต่างๆก็ไม่ได้ถูกแบ่งเขตแดนอย่างทุกวันนี้

กล่าวคือ หากแผนที่โลกไม่ได้เป็นอย่างที่เราคุ้นเคยและรู้จักดีเราต้องใช้สีแบ่งเขตแดนอย่างน้อยๆกี่สี โดยไม่ให้ประเทศที่ติดกันมีสีเดียวกัน

ปัญหานี้มีชื่อว่า Four color problem ถูกถามขึ้นครั้งแรก ในปี ค.ศ. 1852 โดย Frederick Guthrie ลูกศิษย์ของนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง นามว่า Augustus De Morgan ผู้มีผลงานด้านเซตและตรรกศาสตร์

นักคิดในยุคนั้นพบว่าแค่ 4 สีก็เพียงพอจะระบายแผนที่ใดๆไม่ให้มีด้านที่ติดกันใช้สีเดียวกัน พูดอีกอย่างว่าไม่มีใครสร้างแผนที่ที่ต้องใช้สีถึง 5 สีได้เลย

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ให้เห็นทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นเรื่องยากมาก ซึ่งมันกลายเป็นปัญหาที่นักคณิตศาสตร์พยายามพิสูจน์มาโดยตลอด

Alfred Kempe นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษเผยแพร่บทพิสูจน์ปัญหาข้อนี้ออกมาในปี ค.ศ. 1879

ไม่นานนัก เขาก็ได้รับเลือกเข้าเป็นหนึ่งในสมาชิกของราชสมาคม (Royal Society) ซึ่งเป็นสมาคมด้านวิทยาศาสตร์อันทรงเกียรติ แต่หลังจากนั้นราว 10 ปี นักคณิตศาสตร์ผู้มีนามว่า Percy John Heawood ก็พบที่ผิดในบทพิสูจน์นั้น

อ่านการพิสูจน์ปัญหานี้ต่อได้ที่ https://www.blockdit.com/articles/5d5d55f2109e92507e8ff01d

การก้าวข้ามอนันต์

“การเคลื่อนไหวทั้งปวง เป็นเพียงมายา”
ซีโน แห่ง เมืองอีเลีย (490-430 BC)

รอบตัวเราเต็มไปด้วยการเคลื่อนไหว
ทั้งรถยนต์ที่วิ่งอย่างรวดเร็ว เล็บมือที่งอกแสนเชื่องช้า การบินอันซับซ้อนของแมลงวัน การกลิ้งอันเรียบง่ายของลูกฟุตบอลในสนามหญ้า แม้แต่สิ่งที่มองไม่เห็นอย่างสายลมเราก็รับรู้ได้ถึงการเคลื่อนไหวของมันได้ ขณะเดียวกันตัวเราเองเคลื่อนไหวไปพร้อมกับสิ่งรอบๆ

ทุกสิ่งที่กล่าวมาอาจฟังดูน่าเบื่อจำเจ เพราะไม่มีใครไม่เคยเห็นการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนไหวที่แวดล้อมเราอยู่ตลอดเวลาทำให้เราคุ้นและชินชากับมันเหมือนเห็นพระอาทิตย์ขึ้นอย่างสม่ำเสมอ มันเลยดูไม่น่าสนใจ ไม่มีอะไรชวนให้ค้นหาติดตาม
ทั้งที่ความจริงแล้ว การเคลื่อนเท้าก้าวเดินทุกก้าวของเรานั้นอัดแน่นไปด้วยเรื่องชวนพิศวง

ซีโนเป็นนักปราชญ์ชาวกรีกได้สร้างปัญหา Zeno paradox ซึ่งเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวที่ชวนฉงนและน่าสนใจไปพร้อมๆกัน ?

หากเราต้องการเดินเป็นระยะทาง 1 เมตรเราต้องเคลื่อนผ่านจุดกึ่งกลางที่ระยะ 50 เซนติเมตรก่อน
แต่เมื่อเรากำลังขยับไปข้างหน้า 10 เซนติเมตร กึ่งกลางก็คือระยะห่าง 45 เซนติเมตร

เราอาจมองได้ว่าจุดกึ่งกลางเลื่อนไปข้างหน้าเล็กน้อย ทุกครั้งที่เราขยับตัวไปข้างหน้า

คำถามคือ หากคิดในแง่นี้ เมื่อเราขยับไปข้างหน้าแม้จะน้อยแค่ไหน จุดกึ่งกลางก็เลือนหนีเราออกไปตลอดเวลา ทำให้เราไม่สามารถเดินทางไปถึงจุดกึ่งกลางได้

ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเดินผ่านระยะทาง 1 เมตรได้

หลักตรรกะเหตุผลของเขาสรุปว่าการเคลื่อนไหวทั้งปวงที่เรารับรู้เป็นเพียงมายา

บางคนฟังการอ้างเหตุผลเหล่านี้อาจรู้สึกว่านี่มันเรื่องบ้าบอ เพราะราเคลื่อนไหวกันอยู่เห็นๆ ความคิดนี้ต้องมีข้อผิดพลาดหรือมีปัญหาอะไรสักแห่ง

คำถามคือ ตรงไหนที่ผิดพลาด ?