Mathematics Lab PMD.

ช่วงนี้พยายามอ่านหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ขยายจากเล่ม "สาวน้อยร้อยเลข" อยู่ครับ อย่างเร็วๆ นี้เพิ่งก็ได้ทราบข้อสันนิษฐานที่ว่าแฟร์มาต์นี่อาจเป็นคนที่ชอบแกล้งคนอื่นพอสมควร

ปูพื้นฐานก่อนว่าสมการในรูป x^2 - D(y^2) = 1 (และ D ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์) เรียกว่า "Pell Equation" โจทย์สำคัญข้อหนึ่งก็คือการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม(ทั้งหมด)ของสมการนี้ ซึ่งปัจจุบันเราทราบแล้วว่าทำได้ด้วยการใช้เศษส่วนต่อเนื่อง

แต่ในสมัยของแฟร์มาต์ เรื่องนี้ยังไม่เป็นที่ทราบแพร่หลาย แฟร์มาต์ซึ่งเป็นคนที่ชอบออกโจทย์ท้าทายนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อยู่แล้ว เคยตั้งโจทย์ท้าให้ตอบข้อหนึ่งคือ

"จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของ x^2 - 61y^2 = 1 มาคำตอบหนึ่ง"

ดูเผินๆ แล้วไม่มีอะไร แต่ความจริงนี่เป็นคำถามที่แสบมาก เพราะว่าเลข 61 ทำให้คำตอบที่น้อยสุดมีค่าใหญ่โตมาก คือในบรรดา D ที่ไม่เกิน 100 มีเพียง D = 61 เท่านั้นที่ทำให้ x น้อยสุดมีค่าเกินพันล้าน (=10 หลัก)

ลงรายละเอียดคือคำตอบน้อยสุดของ D=61 คือ (x,y) = (1766319049, 226153980) เทียบกับเลขที่ค่า x มากรองลงมาห้าอันดับ คือ

D = 97: (x,y) = (62809633, 6377352) ; 8 หลัก
D = 73: (x,y) = (2281249, 267000) ; 7 หลัก
D = 94: (x,y) = (2143295, 221064) ; 7 หลัก
D = 89: (x,y) = (500001, 53000) ; 6 หลัก
D = 85: (x,y) = (285769, 30996) ; 6 หลัก

แล้วแสดงว่าเลข 61 นี่ร้ายเป็นพิเศษ แต่ที่แสบกว่าคือแฟร์มาต์ยังถามอีกข้อคล้ายกันด้วยว่า

"จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของ x^2 - 109y^2 = 1 มาคำตอบหนึ่ง"

ซึ่งก็อย่างที่คาดไว้ว่าคำตอบเล็กสุดของสมการนี้มโหฬาร บอกให้ชัดเจนก็คือ (x,y) = (158070671986249, 15140424455100) ; 15 หลัก

ถึงจุดนี้คงไม่แปลกถ้าจะคิดว่าแฟร์มาต์จงใจเลือกเลข 61 กับ 109 นี้โดยที่รู้ว่าทำให้โจทย์ยาก

เหตุการณ์นี้ทำให้เราทราบหลายๆ อย่างคือ

1. การที่แฟร์มาต์รู้คำตอบในกรณีที่คำตอบใหญ่ขนาดนี้ (โจทย์ที่แฟร์มาต์ส่งไปถามคนอื่น มักเป็นข้อที่ตัวแฟร์มาต์เองทำได้แล้ว) แสดงว่าแฟร์มาต์น่าจะรู้วิธีแก้ Pell's equation อย่างเป็นระบบ

2. การที่แฟร์มาต์น่าจะจงใจเลือกถามโจทย์ที่แก้ลำบากเช่นนี้ แสดงว่าแฟร์มาต์อาจมีนิสัยแผลงๆ พอสมควร

อนึ่ง ประเด็นเรื่องการจงใจเลือกโจทย์ยากไปถามคนอื่นเช่นนี้ มองจากยุคปัจจุบันอาจเหมือนนิสัยยกตนข่มท่าน แต่ต้องเข้าใจว่าในสมัยนั้นนี่อาจถือเป็นธรรมเนียมปฏิบัติปกติ (แม้ว่าก็คงไม่ทำให้อีกฝ่ายรู้สึกดีนัก) เนื่องจากสมัยนั้นเป็นยุคที่ยังไม่มีวารสารวิชาการ ยังไม่มีตำแหน่งงานนักวิชาการในมหาวิทยาลัยอย่างเป็นระบบเช่นปัจจุบัน เพื่อแสดงว่าตนมีความรู้สมควรให้ราชสำนักหรือขุนนางหรือคนมั่งคังอุปถัมภ์ สมัยนั้นนักคณิตศาสตร์จึง "ประลองยุทธ์" กันเช่นนี้เป็นปกติ

แหล่งอ้างอิง
1. 足立恒雄,『フェルマーの大定理が解けた！　オイラーからワイルズの証明まで』, 講談社, 1995. (Kindle edition)
2. http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
3.http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/pelleqn1.pdf