Luminous - Maths Zone

Vol 1 ရော Vol 2 ပါ ပြန်ရပါပြီခင်ဗျာ။

Vol 1 က 3rd edition ဖြစ်ပြီး
Vol 2 က 2nd edition ပါ။

တစ်နှစ်ကျော်အတွင်း အုပ်ရေ 18000 ရောင်းချခဲ့ပြီး

ကျောင်းသားများနှင့် ဆရာ၊ ဆရာမများရဲ့ အကောင်းဆုံးမှတ်ချက်တွေ ရထားတဲ့ စာအုပ်တွေဆိုရင်လည်း မမှားပါ။

အတွဲပြဿနာ ဖြေရှင်းတော်မူခန်း

Problem

Two couples (A and B, and C and D) and two singles (E and F) are lining up to be photographed. In how many ways can they stand if A and B must be together, but C and D refuse to stand next to each other due to a recent quarrel?

အတွဲ နှစ်တွဲနှင့် singles နှစ်ယောက်၊ စုစုပေါင်း လူ ၆ ယောက် အမှတ်တရဓါတ်ပုံ ရိုက်ကူးဖို့ တန်းစီနေကြလေသည်။ အတွဲတစ်တွဲဖြစ်သော A နှင့် B တို့သည် သိပ်ချစ်ကြလေတော့ မည်သို့သောအခြေအနေအနေမျိုးပဲရောက်ရောက် နှစ်ယောက်အတူတူသာ အမြဲရှိနေချင်ကြသည်။ အခုလည်း တစ်ယောက်လက်ကို တစ်ယောက်တွဲထားကာ ပူးကပ်စွာ ရပ်နေကြပြန်သည်။ နောက်တစ်တွဲဖြစ်သည့် C နှင့် D တို့အတွက်တော့ အခြေအနေတွေဟာ သိပ်မဟန်လှ။ စကားများ ရန်ဖြစ်ထားကြ၍ လောလောဆယ် ရန်သူတွေဖြစ်နေကြကာ မိန်းကလေးဖြစ်သူမှ "သွား ငါ့အနားမလာနဲ့" ဟု ဆိုလေသလား မသိ၊ သူတို့နှစ်ယောက် ဓါတ်ပုံထဲတောင် အတူတူရှိမနေချင်လောက်အောင် ဖြစ်နေကြရှာသည်။ အင်း .... ဟိုနှစ်ယောက်တော့ အတွဲတွေကြည့်ပြီး မျက်စိနောက်နေရောပေါ့။ ဓါတ်ဆရာလည်း ဒုက္ခရောက်နေဟန်တူသည်။ သူ့ခမျာ ကင်မရာလေးချိန်ပြီး ဓါတ်ပုံရိုက်မည်လုပ်ပြန်တော့လည်း ဟိုလူတွေက အခုထိ အစီအစဥ်တကျ မရှိသေးကိုး ဗျ။ ကဲ၊ ဓါတ်ဆရာကို ကူညီပေးလိုက်ကြရအောင်ဗျာ။

Block Method နှင့် Exclusion Principle ကို တွဲဖက်၍ အသုံးချမည်။ ပထမဦးစွာ သိပ်ချစ်ကြသောအတွဲအား အတူတူထား (တစ်ယောက်တည်းဟု မှတ်ယူ) ကာ တခြားလူများနှင့်အတူ စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သည့် နည်းလမ်းအရေအ တွက်ကို ရှာမည်။ Romeo နှင့် Juliet (အဲ မှားလို့) A နှင့် B တို့သည် တစ်ယောက်တည်းလို ဖြစ်နေလေတော့ လူ ၅ ယောက်ကို စီစဥ်မှုပြုလုပ်သည့်သဘော ဖြစ်သွားပြီး ထိုကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်နိုင်ရန်မှာ 5! နည်း ရှိ၏။ ဆက်လက်၍ A နှင့် B တို့အား 2! နည်းဖြင့် အချင်းချင်း နေရာလဲနိုင်သေးသည်။ အထက်ပါဖြစ်ရပ်နှစ်ခုကို ဆက်တိုက်လုပ်ဆောင်သောအခါ A နှင့် B တို့ အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက် 5!∙2! ကို ရရှိသွားသည်။ သို့သော် ယခုရရှိလာသော 5!∙2! နည်းထဲတွင် ဟိုနှစ်ယောက် အတူတူရပ်မိသွားသော စီစဥ်မှုများလည်း ပါနေသေး၏။ တော်ကြာ၊ စိတ်ကောက်နေသော ကောင်မလေးမှ "အဲ့ဒီပုံတွေ အခုပြန်ဖျက်ပေး" ဆိုကာမှ ဒုက္ခ။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B အတူတူရပ်နေကြသော 5!∙2! နည်းထဲတွင် C နှင့် D တို့ အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက် မည်မျှပါဝင်နေမလဲဟူသောအချက်ကို အဖြေရှာရပေးဦးမည်။ ထိုအခါ A နှင့် B အတူတူရပ်၊ C နှင့် D လည်း အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက်ကို ရှာကြည့်ရန် လိုအပ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B ကို အတူတူထားကာ တစ်ယောက်တည်းအဖြစ်ယူဆ၊ C နှင့် D ကိုလည်း အတူတူထားကာ တစ်ယောက်တည်းအဖြစ် ယူဆပြီးနောက် FA နှစ်ယောက် (အဲ မဟုတ်ပေါင်) singles ၂ ယောက်နှင့်အတူ၊ စုစုပေါင်း လူ ၄ ယောက်ကို စီစဥ်မှုပြုလုပ်ကြည့်သော် 4! နည်းလမ်းရှိကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့နောက် A နှင့် B ကို အချင်းချင်း နေရာလဲနိုင်သည်မှာ 2! နည်း၊ C နှင့် D အတွက်လည်း 2! နည်း ရှိနေသေးပြန်တော့ A နှင့် B ကို အတူတူထား၊ C နှင့် D ကိုလည်း အတူတူထားကာ စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက် ဖြစ်သည့် 4!∙2!∙2! ကို ရလာသည်။ ထိုအခါ C နှင့် D အတူတူရှိနေကြသော စီစဥ်မှု (မလိုချင်သော စီစဥ်မှု) 4!∙2!∙2! နည်းသည် A နှင့် B ကို အတူတူထားကာ ပြုလုပ်ခဲ့သော စီစဥ်မှုပေါင်း 5!∙2! ထဲတွင် ပါဝင်နေလေ၏။ မလိုချင်သော စီစဥ်မှုအရေအတွက်ကို သိရှိပြီးဖြစ်၍ ထိုအရေအတွက်ဖြစ်သော 4!∙2!∙2! အား 5!∙2! ထဲမှ ဖယ်ထုတ်ရန်သာ ရှိတော့သည်။

နောက်ထပ် မတူညီသောနည်းလမ်းတစ်ခုဖြင့် အဖြေထုတ်နိုင်သေးသည်။ Block Method နှင့် Gap Method ကို အသုံးချရန်ဖြစ်သည်။

အချင်းချင်းစိတ်ကောက်နေကြသည့် အတွဲကို ခေတ္တခဏဖယ်ထားပြီးနောက် A နှင့် B ကို အတူတူထားနိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရှာမည်။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B ကို လက်ချင်းချိတ်ထားခိုင်း (အတူတူထား) ပြီး တစ်ယောက်တည်းဟုမြင်ကာ ကျန်သော တစ်ကိုယ်ရေ တစ်ကာယသမား ၂ ယောက် (E နှင့် F တို့) နှင့်အတူ စုစုပေါင်း လူ ၃ ယောက်အား စီစဥ်မှုပြုလုပ်သော် 3!∙2! နည်း ရှိမည်။ ယခုအခါ စိတ်ကောက်နေကြသည့်အတွဲကို နေရာချရန် စဥ်းစားတော့မည်။ လက်ချင်းမဖြုတ်နိုင်လောက်အောင် ချစ်ပြနေသော အတွဲနှင့် singles ၂ ယောက်တို့၏ ဘေးကပ်လျက်နေရာများတွင် နေရာလွတ် ၄ နေရာ ဖန်တီးနိုင်ပြီး ထိုနေရာလွတ်များထဲမှ ၂ နေရာကို ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရှာကြည့်သောအခါ 4C2 ကို ရမည်။ ထို့ကြောင့် အသားချင်းတောင် မထိလိုကြသည့် အတွဲအတွက် နေရာများကို 4C2 နည်းလမ်းဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ဆက်လက်၍ အဆိုပါနှစ်ယောက် (C နှင့် D) အား စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက် 2! နည်း ရှိသေးသည်။ အထက်ပါဖြစ်ရပ်အားလုံးကို ဆက်တိုက်လုပ်ဆောင်ပါက နောက်ဆုံးတွင် လိုအပ်သောအဖြေကို ရရှိပါလိမ့်မည်။

Solution

The number of ways with A and B standing together =5!∙2!
The number of ways with A and B standing together, and C and D standing together =4!∙2!∙2!

Therefore, the required number of ways =(5!∙2!)-(4!∙2!∙2!)=144

Alternative approach

Consider A and B as a single person. Then the number of ways to arrange this person, E and F =3!

The number of ways to arrangement A and B =2!

Now, the number of ways to choose 2 positions for C and D from 4 available positions and arrange them = 4C2 ∙ 2!= 4P2

Therefore, the required number of ways
= 3! ∙ 2! ∙ 4P2=144

စာကြွင်း။

အထက်ပါပုစ္ဆာဟာ ကျနော်ရေးသားထုတ်ဝေထားတဲ့ Permutations & Combinations ဆိုတဲ့ စာအုပ်ထဲမှ e.g. 76 ဖြစ်ပါတယ်။