Mathématiques

https://drive.google.com/file/d/11X78fORhaGisH0pzcJsPRibRIZl_XOT3/view?usp=drivesdk

Fundamentals of calculus ( PDFDrive.com ).pdf

مبرهنة الأعداد الأولية
Théorème des nombres premiers
-------------------------------------------
نعرف دالة عدد الأعداد الأولية الأصغر من x بـ π(x)
مبرهنة الأعداد الأولية هي واحدة من أهم النتائج في نظرية الأعداد, وهي تقول أن π(x) تتباعد بنفس سرعة x/log(x).

هذه الحدسية صاغها للمرة الأولى Carl Friedrich Gauss سنة 1792 عندما كان سنه 15 فقط!
وقد لاحظ Gauss اعتمادا على جدول لقيم اللوغاريتم أن القيمة π(n)/n تقارب 1 على log(n) كلما كبر العدد n. لكنه لم يتمكن من إثبات ذلك.

سنة 1858 استطاع Chebyshev من إثبات أن π(x)/(x/log(x)) إذا كانت تقبل نهاية فهي 1. لكنه لم يتمكن من إثبات ذلك (لم يتمكن من إثبات أن lim sup و lim inf للقيمة المذكورة تساوي 1)

في سنة 1896 تمكن كل من Hadamard و de la Vallée Poussin من الإثبات وبشكل مستقل أن الدالة زيتا لا تنعدم من أجل Re(s)=1.وهذه الخاصية تكافئ أن π(x)/(x/log(x)) تؤول إلى 1 عندما تؤول x إلى مالانهاية.

وهكذا تم أخيرا إثبات مبرهنة الأعداد الأولية بطريقة تحليلية (Analytique) وهذا يبين ارتباط دالة زيتا الوثيق مع الأعداد الأولية.

وبما أن x/log(x) تقارب Li(x) فإنه لدينا أيضا π(x) تكافئ Li(x).
تقريب π(x) بالدالة Li يعطي قيما رقمية أحسن بكثير من تقريبها بـ x/log(x) كما سنرى ذلك في الموضوع القادم, وسوف نرى كيف أن تموقع الأصفار الغير البديهية للدالة زيتا هو ما يحدد دقة تقريب Li(x) لـ π(x)