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Short Notes: Real Numbers (Vastavik Sankhyayein)
1. Fundamental Theorem of Arithmetic
Har ek composite number (bhajya sankhya) ko prime numbers (avidyut sankhya) ke product ke roop mein likha ja sakta hai. Yeh factorization unique hota hai.
* Formula: HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b
* Yeh formula sirf do numbers ke liye valid hai.
2. Revisiting Irrational Numbers
Agar p ek prime number hai aur p, a^2 ko divide karta hai, toh p, a ko bhi divide karega (jahan a ek positive integer hai).
* Iska upyog \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} ko irrational prove karne ke liye kiya jata hai.
3. Rational Numbers and Their Decimal Expansions
Maana x = \frac{p}{q} ek rational number hai:
* Terminating (Shant): Agar q ke prime factors 2^n 5^m ke roop mein hain.
* Non-terminating Repeating (Ashant Avarti): Agar q ke prime factors 2^n 5^m ke roop mein nahi hain.
Important Questions with Answers
Q1. 96 aur 404 ka HCF aur LCM Prime Factorization method se nikaalein.
Answer:
* * * HCF (Sabse chhoti power ka product) = 2^2 = 4
* LCM (Sabse badi power ka product) = 2^5 \times 3 \times 101 = 32 \times 3 \times 101 = 9696
Q2. Prove karein ki \sqrt{3} ek irrational number hai.
Answer (Short Summary):
* Maan lijiye \sqrt{3} rational hai, toh \sqrt{3} = \frac{a}{b} (jahan a, b co-prime hain).
* Square karne par: 3 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 3b^2. Iska matlab 3, a^2 ko divide karta hai, toh 3, a ko bhi divide karega.
* Maana a = 3c. Toh (3c)^2 = 3b^2 \Rightarrow 9c^2 = 3b^2 \Rightarrow b^2 = 3c^2.
* Iska matlab 3, b ko bhi divide karta hai.
* Lekin humne maana tha a aur b co-prime hain. Isliye hamara assumption galat hai aur \sqrt{3} irrational hai.
Q3. Bina lambi bhag prakriya (division) ke batayein ki \frac{13}{3125} shant (terminating) hai ya nahi?
Answer:
* Denominator 3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5.
* Yahan denominator 2^0 \times 5^5 ke roop mein hai.
* Isliye, yeh ek Terminating (Shant) decimal expansion hai.
Quick Revision Table
| Concept | Key Point |
|---|---|
| HCF | Product of the smallest power of each common prime factor. |
| LCM | Product of the greatest power of each prime factor. |
| Rational | Can be written as p/q, where q \neq 0. |
| Irrational | Cannot be written as p/q (e.g., \pi, \sqrt{2}). |

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कविता का सार (Summary in Hindi):
​अतुलनीय आत्मविश्वास: कवि कहते हैं कि अभी उनके जीवन का अंत नहीं होगा। उनका मानना है कि उनके जीवन में अभी-अभी वसंत (नया उत्साह) आया है, इसलिए अभी उन्हें बहुत काम करना है।
​प्रकृति और युवा पीढ़ी: कवि सोई हुई कलियों (जो कि आज के आलसी युवाओं का प्रतीक हैं) को अपने कोमल हाथों से सहलाकर जगाना चाहते हैं। वे चाहते हैं कि वे अपनी तंद्रा (नींद) और आलस को त्यागकर सक्रिय बनें।
​नया सवेरा: जैसे वसंत आने पर चारों ओर हरियाली और फूलों की खुशबू फैल जाती है, वैसे ही कवि अपनी रचनाओं के माध्यम से समाज और युवाओं में नई ऊर्जा और उत्साह भरना चाहते हैं।
​अमृत से सींचना: कवि अपने जीवन के सुखों और सकारात्मकता के 'अमृत' से इन युवाओं को सींचना चाहते हैं ताकि वे हमेशा खिले रहें और कभी निराश न हों।